Topología – James R. Munkres, 2da Edición

Este libro se presenta como un texto introductorio fundamental para estudiantes que buscan aventurarse en el mundo de la topología. Su propósito principal es establecer los fundamentos teóricos necesarios que facilitarán el entendimiento de conceptos más complejos en geometría y topología algebraica. Aunque no se requiere un conocimiento formal extenso en matemáticas, se espera que el lector tenga una familiaridad básica con conceptos de cálculo especializados y análisis. Esta preparación ayudará a los lectores a aprovechar al máximo el contenido y avanzar de manera eficaz en su aprendizaje.

La estructura del libro está cuidadosamente organizada para ofrecer una flexibilidad notable sin perder profundidad en los temas esenciales. Se divide en dos partes clave: la primera se centra en una introducción a los conceptos básicos de topología general, que son considerados esenciales para cualquier curso básico de la materia. La segunda parte se enfoca en la topología algebraica, introduciendo conceptos avanzados como el grupo fundamental y el espacio recubridor. Cada sección está diseñada para ser independiente, permitiendo a los instructores y estudiantes adaptar su enfoque según las necesidades y preferencias específicas del curso.

Además, el libro incorpora una serie de conjuntos de ejercicios complementarios al final de ciertos capítulos, proporcionando a los estudiantes la oportunidad de explorar aspectos más allá de la línea principal del material. Esta característica, junto con la detallada «sintonicación final» de notas y ejercicios en cada edición, refleja el constante esfuerzo del autor por perfeccionar el contenido a medida que se descubren nuevas necesidades educativas. La colaboración con colegas y las valiosas contribuciones de los estudiantes han enriquecido el contenido, garantizando que este libro sea una herramienta valiosa y adaptable para docentes y estudiantes interesados en el estudio de la topología.

CONTENIDO

Capítulo 1: Teoría de conjuntos y lógica

1. Conceptos fundamentales
2. Funciones
3. Relaciones
4. Los enteros y los números reales
5. Productos cartesianas
6. Conjuntos finitos
7. Conjuntos numerables y no numerables
8. El principio de definición recursiva
9. Conjuntos infinitos y el axioma de elección
10. Conjuntos bien ordenados
11. El principio del máximo

Capítulo 2: Espacios topológicos y funciones continuas
12. Espacios topológicos
13. Base de una topología
14. La topología del orden
15. La topología producto sobre X x Y
16. La topología de subespacio
17. Conjuntos cerrados y puntos límite
18. Funciones continuas
19. La topología producto
20. La topología métrica
21. La topología métrica (continuación)
22. La topología cociente

Capítulo 3: Conexión y compacidad
23. Espacios conexos
24. Subespacios conexos de la recta real
25. Componentes y conexión local
26. Espacios compactos
27. Subespacios compactos de la recta real
28. Compacidad por punto límite
29. Compacidad local

Capítulo 4: Axiomas de separación y numerabilidad
30. Los axiomas de numerabilidad
31. Los axiomas de separación
32. Espacios normales
33. El lema de Urysohn
34. El teorema de metrización de Urysohn
35. El teorema de extensión de Tietze
36. Embebimientos de variedades

Capítulo 5: El teorema de Tychonoff
37. El teorema de Tychonoff
38. La compactificación de Stone-Čech

Capítulo 6: Paracompacidad y teoremas de metrización
39. Finitud local
40. El teorema de metrización de Nagata-Smirnov
41. Paracompacidad
42. El teorema de metrización de Smirnov

Capítulo 7: Espacios métricos completos y espacios de funciones
43. Espacios métricos completos
44. Una curva que llena el espacio
45. Compacidad en espacios métricos
46. Convergencia puntual y convergencia compacta
47. El teorema de Ascoli

Capítulo 8: Espacios de Baire y teoría de la dimensión
48. Espacios de Baire
49. Una función no diferenciable en ningún punto
50. Introducción a la teoría de la dimensión

Capítulo 9: El grupo fundamental
51. Homotopía de caminos
52. El grupo fundamental
53. Espacios recubridores
54. El grupo fundamental del círculo
55. Retracciones y puntos fijos
56. El teorema fundamental del álgebra
57. El teorema de Borsuk-Ulam
58. Retractos de deformación y tipo de homotopía
59. El grupo fundamental de S²
60. Los grupos fundamentales de algunas superficies

Capítulo 10: Teoremas de separación en el plano
61. El teorema de separación de Jordan
62. Invariante del dominio
63. La curva de 4 vértices de Jordan
64. Brechas de un plano

Capítulo 11: El teorema de Seifert-van Kampen
67. Sumas directas de grupos abelianos
68. Productos libres de grupos
69. Grupos libres
70. El teorema de Seifert-van Kampen
71. El grupo fundamental de una unión por un punto de círculos
72. Añadiendo una 2-celda
73. Los grupos fundamentales del toro y del sombrero de asno

Capítulo 12: Clasificación de superficies
74. Grupos fundamentales de superficies
75. Homología de superficies
76. Cortar y pegar
77. El teorema de clasificación
78. Construcción de superficies compactas

Capítulo 13: Clasificación de espacios recubridores
79. Equivalencia de espacios recubridores
80. El espacio recubridor universal
81. Transformaciones recubridoras
82. Existencia de espacios recubridores

Capítulo 14: Aplicaciones a la teoría de grupos
83. Espacios recubridores de un grafo
84. El grupo fundamental de un grafo
85. Subgrupos de grupos libres