Estudio de las Estructuras por los Métodos Matriciales

El libro «Estudio de las estructuras por los métodos matriciales» aborda un tema esencial en el campo de la ingeniería y las matemáticas al ofrecer una versión que hasta ahora no estaba disponible en lengua castellana. Si bien existen traducciones en otros idiomas, y abundante literatura, los autores han optado por profundizar en las complejidades y aplicaciones de los métodos matriciales. Este enfoque busca llenar un vacío importante, acercando este conocimiento a un público que quizás no ha tenido acceso a estos conceptos en su propio idioma.

Históricamente, el cálculo matricial ha tenido un uso limitado a aplicaciones teóricas y situaciones que requerían desarrollar matrices de resultados. En el contexto del cálculo elástico de estructuras, el proceso se volvía complejo, requiriendo inversiones y productos matriciales, así como la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Métodos como los de Ritter, Kani y Cros han sido utilizados tradicionalmente para estas tareas, demostrando ser efectivos hasta cierto punto, pero necesitando ser complementados para cubrir todas las necesidades estructurales.

Con la aparición de los ordenadores, sin embargo, la situación ha dado un giro substancial. La velocidad y eficacia del cálculo computacional permite ahora utilizar matrices directamente con gran precisión y rapidez. Este avance tecnológico no solo ha simplificado los procesos, sino que ha permitido un mayor impulso en la investigación y aplicación práctica de estos métodos, alentando a los autores a ofrecer una obra que explore estas aplicaciones modernas y los beneficios que conllevan.

CONTENIDO

CAPÍTULO I. Nociones de álgebra moderna
1. Conjunto
2. Ley de composición
3. Principales propiedades de las leyes de composición interna
4. Noción de aplicación
5. Reunión e intersección de dos conjuntos
6. Conjuntos complementarios

CAPÍTULO II. Estructuras fundamentales de un conjunto: grupo, anillo, cuerpo
1. Estructura de grupo
2. Estructura de anillo
3. Estructura de cuerpo

CAPÍTULO III. Espacio vectorial
1. Introducción
2. Axiomatización del espacio vectorial
3. Vectores linealmente independientes
4. Dimensión de un espacio vectorial. Base
6. Rango de un sistema de p vectores
7. Teorema
8. Ejemplos de espacios vectoriales: investigación de la dimensión. Base
9. Subespacios vectoriales suplementarios

CAPÍTULO IV. Determinante de vectores
1. Introducción
2. Función multilineal y alternada en n vectores

CAPÍTULO V. Matrices: definición – rango
1. Definición de matrices
2. Rango de una matriz
3. Proyección de un vector sobre un subespacio
4. Vectores columna de una matriz
5. Teorema

CAPÍTULO VI. Ecuaciones lineales
1. Sistema de n ecuaciones con n incógnitas
2. Sistemas de p ecuaciones con n incógnitas
3. Sistemas homogéneos de n ecuaciones con n incógnitas

CAPÍTULO VII. Operador lineal. Primer aspecto de las matrices
1. Operador caracterizando una aplicación
2. Operador lineal

CAPÍTULO VIII. Operaciones con las matrices
1. Igualdad de dos matrices
2. Suma de dos matrices
3. Matriz nula
4. Matrices opuestas
5. Teorema
6. Multiplicación de una matriz por un escalar
7. Teorema
8. Producto de matrices

CAPÍTULO IX. Matrices cuadradas
1. Generalidades
2. Operador regular. Matriz cuadrada regular
3. Matriz neutra o matriz unidad
4. Matriz escalar
5. Inversión de una matriz cuadrada regular
6. Teorema
7. Matriz diagonal

CAPÍTULO X. Cambio de base. Segundo aspecto de las matrices
1. Matriz de paso
2. Matrices semejantes

CAPÍTULO XI. Producto escalar. Matrices ortogonales
1. Observación
2. Producto escalar de dos vectores
3. Vectores ortogonales
4. Subespacios ortogonales
5. Matrices ortogonales

CAPÍTULO XII. Valores propios, vectores propios. Diagonalización de una matriz
1. Generalidades
2. Valores propios, vectores propios
3. Investigación de los valores propios
4. Investigación de los vectores propios
6. Teorema
7. Diagonalización de una matriz
8. Diagonalización de una matriz simétrica

CAPÍTULO XIII. Introducción al estudio de formas cuadráticas
1. Advertencia
2. Cambio de base
3. Descomposición de una forma cuadrática en cuadros
4. Forma cuadrática definida positiva

CAPÍTULO PRIMERO. Generalidades
1. Principios fundamentales
2. Noción de matriz de rigidez y de matriz de flexibilidad
4. Teorema de Castigliano

CAPÍTULO II. Convenios y notaciones

CAPÍTULO III. Estudio de una barra en su sistema de referencia
1. Definiciones
2. Matriz de equilibrio
3. Matriz de rigidez
4. Deformación pura
5. Potencial interno de una barra
6. Matriz de transferencia
7. Expresión de las diferentes matrices para las barras conectadas totalmente (empotradas) a los nudos
8. Caso particular de una barra articulada en un extremo
9. Caso particular de una barra articulada en sus dos extremos
10. Caso particular de las barras que intervienen en una estructura plana con cargas en su plano

CAPÍTULO IV. Estudio de una estructura en su sistema de referencia
1. Generalidades
2. Equilibrio y continuidad en los nudos
3. Potencial interno, matrices K, y S₁
4. Matriz de conexión
5. Matriz de rigidez

CAPÍTULO V. Métodos para el cálculo de estructuras
1. Primer método: matriz de rigidez
2. Segundo método: matriz de conexión
3. Tercer método: descomposición en subestructuras
4. Caso de barras con cargas exteriores

CAPÍTULO VI. Matriz de transferencia
1. Definición
2. Expresión de la matriz de transferencia
3. Uso de las matrices de transferencia
4. Generalización de la noción de matriz de transferencia

CAPÍTULO VII. Aplicaciones diversas
1. Correspondencia entre las matrices de rigidez y flexibilidad en una barra
2. Vibración de una estructura
3. Inestabilidad de las estructuras
4. Carga de rotura de una estructura en estado plástico
5. Vibración de un macizo indeformable sobre apoyos elásticos
6. Introducción al método de los elementos finitos